特殊矩阵

零矩阵

所有元素均为 $0$ 的矩阵称为零矩阵 ，记为 $\bm{0}_{m\times n}$ ，或简记为 $\bm{0}$。

对角矩阵

若矩阵 $A$ 的行数和列数相等（即 $m=n$），称 $A$ 为方阵 。元素 $a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn}$ 称为 $A$ 的主对角线。若 $A$ 中除了主对角线，其他元素都为 $0$
，则称 $A$ 为对角阵：

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix},$

可简记为 $diag\{a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn}\}$ 。

单位阵

若对角阵 $A$ 中的主对角线的元素都为 $1$ ，则称 $A$ 为单位阵 ：

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix},$

通常记作 $I_n$ 。

三角阵

若方阵 $A$ 中，主对角线以下（上）的元素都为零，则称 $A$ 为上（下）三角矩阵。如上三角矩阵：

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix},$

矩阵的运算

矩阵的相等

设矩阵 $A=\{a_{ij}\}_{m\times n}$ ，$B = \{b_{ij}\}_{s\times t}$ ，则 $A = B$ 当且仅当 $m = s,n = t$ 且 $a_{ij} = b_{ij} (\forall i,j)$ 。

矩阵的加法

设矩阵 $A = \{a_{ij}\}_{m \times n}$ 、 $B = \{b_{ij}\}_{m \times n}$ ，定义 $m \times n$ 矩阵 $C = A + B$ ，$C$ 中的元素 $(i,j)$ 等于 $a_{ij}+b_{ij}$ ，即：

$A + B = (a_{ij} + b_{ij}) .$

矩阵的数乘

设矩阵 $A = \{a_{ij}\}_{m \times n}$ ， $c$ 是一个数，定义数 $c$ 与矩阵 $A$ 的数乘： $cA = (ca_{ij})_{m \times n}$ 。

矩阵的数乘，是矩阵的每个元素都要乘以数 $c$ 。

矩阵的乘法

设矩阵 $A = \{a_{ij}\}_{m \times k}, B = \{b_{ij}\}_{k \times n}$ ，定义 $C = \{c_{ij}\}_{m\times n} = A \times B$ 其中：

$c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{ik}b_{kj} ,$

其表达式为：

$A \times B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m2} & a_{m2} & \cdots & a_{mk} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{k1} & b_{k2} & \cdots & b_{kn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \displaystyle\sum_{r=1}^{k}a_{1r}b_{r1} & \displaystyle\sum_{r=1}^{k}a_{1r}b_{r2} & \cdots & \displaystyle\sum_{r=1}^{k}a_{1r}b_{rn} \\ \displaystyle\sum_{r=1}^{k}a_{2r}b_{r1} & \displaystyle\sum_{r=1}^{k}a_{2r}b_{r2} & \cdots & \displaystyle\sum_{r=1}^{k}a_{2r}b_{rn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \displaystyle\sum_{r=1}^{k}a_{mr}b_{r1} & \displaystyle\sum_{r=1}^{k}a_{mr}b_{r2} & \cdots & \displaystyle\sum_{r=1}^{k}a_{mr}b_{rn} \\ \end{pmatrix} .$

$A$ 的列数 和 $B$ 的行数相同才能相乘；
$A \times B$ 的结果的行数等于 $A$ 的行数，列数等于 $B$ 的列数。

• 分配率： $A(B+C) = AB + AC;(A+B)C = AC + BC$ ；
• $c(AB) = (cA)B = A(cB)$ ，其中 $c$ 是一个数。
• 方阵幂的运算规则：
  • $A^rA^s = A^{r+s}$ ；
  • $(A^r)^s = A^{rs}$；
  • 当且仅当 $AB = BA$ 时有：
    • $(AB)^r = A^rB^r$ ；
    • 二项式定理： $(A+B)^n = A^n +C^1_nA^{n-1}B + C^2_nA^{n-2}B^2 + \cdots + c^{n-1}_nAB^{n-1} + B^n$ 。

矩阵的逆

设 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵，若存在一个 $n$ 阶方阵 $B$ ，使得

$AB = BA = I_n ,$

则称 $B$ 是 $A$ 的逆阵，记为 $B = A^{-1}$ 。凡具有逆阵的矩阵称为可逆阵或非奇异阵（简称非异阵），否则称为奇异阵。

矩阵的转置

设

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix},$

是 $m \times n$ 矩阵，定义 $A$ 的转置

$A^\prime = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} ,$

也是 $m \times n$ 矩阵，即 $A = (a_{ij})_{m \times n} \Rightarrow A^\prime = (a_{ji})_{n \times m}$ 。

对称阵

矩阵转置后一般与原矩阵不同，但若一个方阵转置后等于原矩阵，即：$A^\prime = A$ ，则称该矩阵为对称阵；若一个方阵转置后等于原矩阵的负矩阵，即
$A^\prime = -A$ ，则称原矩阵是一个反对称阵。不难看出，对称阵的元素以主对角线为对称线，即 $a_{ij} = a_{ji}$ ；反对称阵主对角线上的元素皆为 $0$ 且 $a_{ij} = -a_{ji}$ 。

矩阵的伴随

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵， $A_{ij}$ 是行列式 $|A|$ 中的第 $(i,j)$ 元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，则称

$A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{1n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix} ,$

为 $A$ 的伴随阵。

矩阵的初等变换

初等变换和初等矩阵

1. 第一类初等矩阵：对调矩阵中某两行（列）的位置，称为矩阵的第一类初等行（列）变换。对单位阵施以第一类初等行（列）变换后得到的矩阵称为第一类初等矩阵，记为 $P_{ij}$ ：

$P_{ij} = \begin{pmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 0 & \cdots & 1 & & \\ & & \vdots & & \vdots & & \\ & & 1 & \cdots & 0 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \\ \end{pmatrix}$

2. 第二类初等矩阵：用非零数乘以矩阵某一行（列），称为矩阵的第二类初等行（列）变换。对单位阵施以第二类初等行（列）变换后得到的矩阵称为第二类初等矩阵，记为 $P_i(c)$ ：

$P_i(c) = \begin{pmatrix} 1 & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & c & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & 1 \end{pmatrix}$

3. 第三类初等矩阵：将矩阵的某一行（列）乘以数 $c$ 后加到另一行（列），称为矩阵的第三类初等行（列）变换。对单位阵施以第三类初等行（列）变换后得到的矩阵称为第三类初等矩阵，记为 $T_{ij}(c)$：

$T_{ij}(c) = \begin{pmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & \cdots & 0 & & \\ & & \vdots & & \vdots & & \\ & & c & \cdots & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \\ \end{pmatrix}$

矩阵乘积的行列式

矩阵的等价

设矩阵 $B$ 是矩阵 $A$ 经过有限次初等变换后得到的，则称 $A$ 与 $B$ 是等价的，或称 $A$ 与 $B$ 相抵，记为 $A \sim B$ 。

用初等变换求逆阵

任一可逆的方阵，都可用有限次初等变换，将其转为单位阵，即若方阵 $A$ 可逆，则存在初等矩阵 $Q_1,Q_2,\cdots,Q_t$ 使得：

$Q_1 \cdots Q_2Q_tA = I_n ,$

故 $A^{-1} = Q_1 \cdots Q_2Q_t=Q_1 \cdots Q_2Q_tI_n$ 。

对 $A$ 作有限次初等变换化为单位阵，将该组初等变换作用于单位阵，即得到 $A^{-1}$ 。

阶梯形矩阵

设 $A = (a_{ij})_{m\times n}$ 为 $m \times n$ 矩阵， $\forall 1 \leqslant i \leqslant m$ 定义 $k_i$ 为：若 $A$ 的第 $i$ 行元素全为 $0$ ，则 $k_i = +\infty$ ；
若 $A$ 的第 $i$ 行元素不全为 $0$ ，则 $k_i$ 是第 $i$ 行所有非零元素列指标的最小值。即若 $k_i \lt +\infty$ ，则 $a_{ik_i}$ 是 $A$ 的第 $i$ 行中从左至右第一个非零的元素，称为第 $i$ 行的阶梯点。

若存在 $0 \leqslant r \leqslant m$ ，使得 $k_1 \lt k_2 \lt \cdots \lt k_r,k_{r+1}=\cdots=k_m=+\infty$ ，则称这样的矩阵 $A$ 是阶梯形矩阵。

矩阵的秩

设 $A$ 是 $m \times n$ 阶矩阵，则 $A$ 的 $m$ 个行向量的秩称为 $A$ 的行秩； $A$ 的 $n$ 个列向量的秩称为 $A$ 的列秩。

矩阵的行秩和列秩统称为矩阵的秩，记为 $r(A)$ 或 $rank(A)$

$\text{解：} \\ \text{当 } n = 1 \text{ 时 } D_1 = \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix},\\ \text{当 } n = 2 \text{ 时 } D_2 = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}, \\ \text{当 } n = 3 \text{ 时 } D_3 = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} = 3D_2 - 2D_1, \\ \cdots \\ D_n = 3D_{n - 1} - 2D_{n - 2}$