2-线性空间

数域与向量

数域

设 K⊆C,∀x1,x2∈K(x1≠x2)\Bbb{K} \sube \Complex, \forall x_1, x_2 \in \Bbb{K} (x_1 \neq x_2) ，若

x1+x2∈Kx1−x2∈Kx1∗x2∈Kx1÷x2∈K(x2≠0)，\begin{aligned} x_1 + x_2 &\in \Bbb{K} \\ x_1 - x_2 &\in \Bbb{K} \\ x_1 * x_2 &\in \Bbb{K} \\ x_1 \div x_2 &\in \Bbb{K} (x_2 \neq 0) \text{，} \end{aligned}

则称 K\Bbb{K} 是一个数域。 显然： Z\Z 、 N\natnums 不是数域。Q\Bbb{Q} 、 R\Reals 、 C\Complex 是数域。

定理 任一数域均包含有理数域。
行向量和列向量

设 a1,a2,…,ana_1,a_2,\dots,a_n 分别是数域 K\Bbb{K} 上的元素，由 a1,a2,…,ana_1,a_2,\dots,a_n 组成的有序数组 (a1,a2,…,an)(a_1,a_2,\dots,a_n)
称为数域 K\Bbb{K} 上的一个 nn 维行向量。
将 a1,a2,…,ana_1,a_2,\dots,a_n 依次排成一列：

(a1a2⋮an)\begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}

构成数域 K\Bbb{K} 上的一个 nn 维列向量。

nn 维行向量可以看成是一个 1×n1 \times n 矩阵，同理 nn 维列向量可以看成是一个 n×1n \times 1 矩阵。一个 m×nm \times n 矩阵的第 ii 行为第 ii 行向量，第 jj 列为第 jj 列向量。

向量的相等

两个向量 α=(a1,a2,…,an)\alpha = (a_1,a_2,\dots,a_n) ， β=(b1,b2,…,bn)\beta = (b_1,b_2,\dots,b_n) 当且仅当 ai=bi(i=1,2,⋯ ,n)a_i = b_i(i=1,2,\cdots,n) 时相等。

向量的加法和数乘

设 α=(a1,a2,…,an)\alpha = (a_1,a_2,\dots,a_n) ， β=(b1,b2,…,bn)\beta = (b_1,b_2,\dots,b_n) ，k∈Kk \in \Bbb{K} ，

定义向量的加法：

α+β≔(a1+b1,a2+b2,…,an+bn),\alpha + \beta \coloneqq (a_1+b_1, a_2+b_2, \dots, a_n+b_n) ,

和向量的数乘：

kα≔(ka1,ka2,…,kan).k\alpha \coloneqq (ka_1, ka_2, \dots, ka_n) .

零向量和负向量

nn 维向量中所有的元素都是 00 的向量称为零向量，记为 0\bm{0} 。
设 α=(a1,a2,…,an)\alpha = (a_1,a_2,\dots,a_n) ，定义负向量 −α≔(−a1,−a2,…,−an)-\alpha\coloneqq(-a_1,-a_2,\dots,-a_n) 。

线性空间

线性空间

设 K\Bbb{K} 是一个数域，V\mathit{V} 是一个集合，在 V\mathit{V} 上定义了一个运算，称为加法，即对
V\mathit{V} 中的任意两个元素 α\alpha 、 β\beta ，总存在 V\mathit{V} 中唯一元素 γ\gamma 与之对应，记为 γ=α+β\gamma = \alpha + \beta 。
在数域 K\Bbb{K} 与 集合 V\mathit{V} 之间定义了一种运算，称为数乘，即对 K\Bbb{K} 中的任意一个 kk 及 V\mathit{V}
中任一元 α\alpha ，在 V\mathit{V} 中总有唯一的元素 δ\delta 与之对应，记为 δ=kα\delta = k\alpha 。若上述的加法和数乘满足以下运算规则：

  1. 加法交换律： α+β=β+α\alpha + \beta = \beta + \alpha ；
  2. 加法结合律： (α+β)+γ=α+(β+γ)(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma) ；
  3. 存在零元：0≔∀α∈V(α+0=α)\bm{0}\coloneqq \forall \alpha \in \mathit{V}(\alpha + \bm{0} = \alpha) ；
  4. 存在负元：∀α∈V∃β∈V(α+β=0)\forall \alpha \in \mathit{V}\exists\beta\in\mathit{V}(\alpha + \beta = \bm{0}) ；
  5. 存在单位元：1≔∀α∈V∃1∈K(1α=α)1\coloneqq\forall\alpha\in\mathit{V}\exists 1\in\Bbb{K}(1\alpha = \alpha) ；
  6. 数乘分配律：k(α+β)=kα+kβk(\alpha + \beta) = k\alpha + k\beta ；
  7. 数乘分配律：(k+l)α=kα+lα(k + l) \alpha = k\alpha + l\alpha ；
  8. 数乘结合律：k(lα)=(kl)αk(l\alpha) = (kl)\alpha ，

其中 α\alpha 、β\beta 、 γ∈V\gamma \in \mathit{V} ，kk 、 l∈Kl \in \Bbb{K} ，则集合 V\mathit{V} 称为数域 K\Bbb{K} 上的线性空间或向量空间， V\mathit{V} 中的元素称为 向量。

零元的唯一性
每个向量的负元唯一

0α=00\alpha=\bm{0}

k0=0k\bm{0}=\bm{0}

kα=0⇒α=0∨k=0k\alpha=\bm{0}\rArr\alpha=\bm{0}\lor k=0

(−1)α=−α(-1)\alpha=-\alpha

α+β=α+γ⇒β=γ\alpha + \beta = \alpha + \gamma \rArr \beta = \gamma

行向量集合和列向量集合是一个线性空间：数域 K\Bbb{K} 上的行（列）向量的集合，是一个线性空间，
记为 Kn\Bbb{K}^n （ Kn\Bbb{K}_n ）。

线性组合和线性相关

线性组合

设 V\mathit{V} 是数域 K\Bbb{K} 上的线性空间，α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n 和 β\beta 都是 V\mathit{V} 中的向量，若存在 K\Bbb{K} 中的 nn 个数 k1,k2,…,knk_1,k_2,\dots,k_n ，使

β=k1α1+k2α2+⋯+knαn,\beta = k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_n\alpha_n,

则称 β\beta 是 α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n 的线性组合，或 β\beta 可由 α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n 线性表示。

设有 nn 个未知数， mm 个方程式的线性方程组：

{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2,……am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2, \\ \dots \dots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}

令：

α1=(a11a21⋮am1),α2=(a12a22⋮am2),…,αn=(a1na2n⋮amn),β=(b1b2⋮bm)\alpha_1 = \begin{pmatrix} a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix}, \alpha_2 = \begin{pmatrix} a_{12}\\ a_{22}\\ \vdots \\ a_{m2} \end{pmatrix}, \dots, \alpha_n = \begin{pmatrix} a_{1n}\\ a_{2n}\\ \vdots \\ a_{mn} \end{pmatrix}, \beta = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

则该方程组可用向量表示为：

x1α1+x2α2+⋯+xnαn=β.x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\dots+x_n\alpha_n=\beta.

显然，该方程有解的充分必要条件是向量 β\beta 可表示为 α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n 的线性组合。

线性相关

设 V\mathit{V} 是数域 K\Bbb{K} 上的线性空间，α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n 都是 V\mathit{V} 中的向量，若存在 K\Bbb{K} 中不全为 00 的 nn 个数 k1,k2,…,knk_1,k_2,\dots,k_n ，使

k1α1+k2α2+⋯+knαn=0,k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_n\alpha_n = \bm{0},

则称 α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n 线性相关。反之，若不存在不全为 00 的数 k1,k2,…,knk_1,k_2,\dots,k_n 使上式成立，则称 α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n 线性无关。

α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n 线性无关，当且仅当 k1=k2=⋯=kn=0k_1=k_2=\dots=k_n=0 使得 k1α1+k2α2+⋯+knαn=0k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_n\alpha_n = \bm{0} 。

只有一个向量 α\alpha 的向量组线性相关的充要条件是 α=0\alpha = \bm{0} 。

若 α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n 是线性空间 V\mathit{V} 中线性相关的向量，则任一包含这组向量的向量组必线性相关。

任何包含 0\bm{0} 的向量组必线性相关。

若 α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n 是线性空间 V\mathit{V} 中线性无关的向量，则从该组向量中任取出一组向量都线性无关。

设 α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n 是线性空间 V\mathit{V} 中的向量， α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n 线性相关的充要条件是至少有一个向量可表示为其他向量的线性组合。

设 α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n 是线性空间 V\mathit{V} 中的向量，k1,k2,…,knk_1,k_2,\dots,k_n 是数域 K\Bbb{K} 中的数，已知 β\beta 可表示为 α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n 的线性组合，即

β=k1α1,k2α2,…,knαn,\beta = k_1\alpha_1,k_2\alpha_2,\dots,k_n\alpha_n,

则表示唯一的充分必要条件是向量 α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n 线性无关。

设向量组 A={α1,α2,…,αm},B={β1,β2,…,βn},C={γ1,γ2,…,γp}A = \{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m\}, B = \{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n\}, C = \{\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_p\}，满足：AA 中任一向量都是 BB 中向量的线性组合，且 BB 中任一向量都是 CC 中向量的线性组合，则：

AA 中任一向量都是 CC 中向量的线性组合。

极大线性无关组

设线性空间 V\mathit{V} 中有一族向量 SS （其中可能有有限个向量，也可能有无限多个向量），如果在 SS 中存在一组向量 {α1,α2,…,αn}\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\} 满足：

  1. α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n 线性无关；

  2. SS 中任一向量都可由 α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n 线性表示，

那么称 {α1,α2,…,αn}\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\} 是向量族 SS 的极大无关线性组，简称极大无关组。

SS 中任一向量 α\alpha 加入极大无关组，构成的新向量组 {α1,α2,…,αn,α}\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n,\alpha\} 必线性相关。

设 SS 是有限个向量组成的向量族，且至少包含一个非零向量，则 SS 一定存在极大线性无关组。

设 AA 和 BB 是 V\mathit{V} 中的两组向量组， AA 含有 rr 个向量， BB 含有 ss 个向量。如果 AA 是线性无关的向量组且 AA 中的每个向量均可用 BB 中的向量线性表示，则 r⩽sr \leqslant s 。

多若可以用少来线性表示，则多线性相关。

设 AA 和 BB 都是线性无关向量组，又 AA 中的任一向量都可由 BB 中的向量线性表示，BB 中的每个向量也可由 AA 中的向量线性表示，则这两个向量组所含的向量个数相同。

设 AA 和 BB 都是向量族 SS 的极大线性无关组，则 AA 与 BB 所含向量个数相等。

向量组的等价

向量组的等价

若向量组 α1,α2,…,αs\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s 中的每一个向量都可以由向量组 β1,β2,…,βs\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s 线性表示，那么称向量组 α1,α2,…,αs\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s 可由向量组 β1,β2,…,βr\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_r 线性表出。

如果向量组 α1,α2,…,αs\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s 与 向量组 β1,β2,…,βr\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_r 可以互相线性表出，则称向量组 α1,α2,…,αs\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s 与 向量组 β1,β2,…,βr\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_r 等价，记作：

{α1,α2,…,αs}≅{β1,β2,…,βr}.\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s\} \cong \{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_r\} .

秩

秩

向量族 SS 的极大无关组中向量的个数，称为该向量族的秩。记作 rank(S)rank(S) 或 r(S)r(S) 。

相互等价的向量组的秩相同

基

基

设 V\mathit{V} 是数域 K\Bbb{K} 上的线性空间，若在 V\mathit{V} 中存在线性无关的向量组 e1,e2,…,ene_1,e_2,\dots,e_n ，使得 V\mathit{V} 中任一向量均可由这组向量线性表示，则称 {e1,e2,…,en}\{e_1,e_2,\dots,e_n\} 是 V\mathit{V} 中的一组基。

其中，线性空间 V\mathit{V} 称为 nn 维线性空间，记作：

dim⁡KV=n.\dim_\Bbb{K}\mathit{V} = n .

如果不存在有限个向量组成 V\mathit{V} 中的一组基，则称 V\mathit{V} 是无限维线性空间。

基是整个线性空间的极大线性无关组。

nn 维线性空间 V\mathit{V} 中任一超过 nn 个向量的向量组必线性相关。

设 V\mathit{V} 是 nn 维线性空间， e1,e2,⋯ ,ene_1,e_2,\cdots,e_n 是 V\mathit{V} 中 nn 个向量。若：

(1). e1,e2,⋯ ,ene_1,e_2,\cdots,e_n 线性无关；

(2). V\mathit{V} 中任一向量均可由 e1,e2,⋯ ,ene_1,e_2,\cdots,e_n 线性表示。

满足其中一个条件，则 {e1,e2,⋯ ,en}\{e_1,e_2,\cdots,e_n\} 是 V\mathit{V} 的一组基。

基扩张定理

设 V\mathit{V} 是 nn 维线性空间， v1,v2,…,vnv_1,v_2,\dots,v_n 是 V\mathit{V} 中 m(m<n)m(m\lt n) 个线性无关的向量，又有 {e1,e2,…,en}\{e_1,e_2,\dots,e_n\} 是 V\mathit{V} 中的一组基， 则必可在 {e1,e2,…,en}\{e_1,e_2,\dots,e_n\} 中选出 n−mn - m 个向量与 v1,v2,…,vnv_1,v_2,\dots,v_n 组成 V\mathit{V} 中的一组基。

坐标向量

引理

设 {e1,e2,…,en}\{e_1,e_2,\dots,e_n\} 是数域 K\Bbb{K} 上 nn 维线性空间 V\mathit{V} 中的一组基，且

α=a1e1+a2e2+⋯+anen=b1e1+b2e2+⋯+bnen,\alpha = a_1 e_1 + a_2 e_2 + \dots + a_n e_n = b_1 e_1 + b_2 e_2 + \dots + b_n e_n ,

其中 a1,a2,…,ana_1,a_2,\dots,a_n ， b1,b2,…,bnb_1,b_2,\dots,b_n 是 K\Bbb{K} 中的数，则 a1=b1,a2=b2,…,an=bna_1=b_1,a_2=b_2,\dots,a_n=b_n 。

取定 V\mathit{V} 中的一组基，则 V\mathit{V} 中的任一向量有且仅有一种方式表示为该组基的线性组合。

坐标向量

取定 nn 维线性空间的一组基，且固定基向量的次序为 {e1,e2,…,en}\{e_1,e_2,\dots,e_n\} ，则 α\alpha 与 K\Bbb{K} 中的一组有序数 (a1,a2,…,an)(a_1,a_2,\dots,a_n) 一一对应，使得 α=a1e1+a2e2+⋯+anen\alpha = a_1 e_1 + a_2 e_2 + \dots + a_n e_n ，则称该组有序数 (a1,a2,…,an)(a_1,a_2,\dots,a_n) 为 nn 维线性空间中向量 α\alpha 在基 {e1,e2,…,en}\{e_1,e_2,\dots,e_n\} 下的坐标向量。把坐标向量看成是 nn 维行向量，于是在 V\mathit{V} 与 Kn\Bbb{K}^n 之间存在一个一一映射关系 φ\varphi ：

a1e1+a2e2+⋯+anen↦(a1,a2,…,an).a_1 e_1 + a_2 e_2 + \dots + a_n e_n \mapsto (a_1,a_2,\dots,a_n) .

同构

同构

设 V,U\mathit{V},\mathit{U} 是数域 K\Bbb{K} 上的两个线性空间，若存在 V\mathit{V} 到 U\mathit{U} 上的一个一一对应的映射 φ\varphi ，使得对任意 V\mathit{V} 中的向量
α,β\alpha,\beta ，以及 K\Bbb{K} 中的数 kk ，均有：

φ(α+β)=φ(α)+φ(β);φ(kα)=kφ(α),\varphi (\alpha + \beta) = \varphi (\alpha) + \varphi (\beta) ; \varphi (k\alpha) = k\varphi (\alpha) ,

则称 V\mathit{V} 与 U\mathit{U} 这两个线性空间同构，记作 V≅U\mathit{V} \cong \mathit{U}

设 φ:V↦U\varphi:\mathit{V} \mapsto \mathit{U} 为线性空间的同构，则：

φ(0)=0.\varphi(\bm{0}) = \bm{0}.

φ\varphi 将线性相关的向量组映射成线性相关的向量组，将线性无关的向量组映射成线性无关的向量组.

同构关系是一个等价关系，即：

(1). V≅U\mathit{V}\cong\mathit{U} ；

(2). 若 V≅U\mathit{V}\cong\mathit{U} ，则 U≅V\mathit{U}\cong\mathit{V} ；

(3). 若 V≅U,U≅W\mathit{V}\cong\mathit{U},\mathit{U}\cong\mathit{W} ，则 V≅W\mathit{V}\cong\mathit{W}

数域 K\Bbb{K} 上的两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们具有相同的维数。

设 {e1,e2,…,en}\{e_1,e_2,\dots,e_n\} 是线性空间 V\mathit{V} 的基， α1,α2,⋯ ,αm\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m 是 V\mathit{V} 中的向量。他们在这组基下的坐标向量依次为 α1~,α2~,⋯ ,αm~\tilde{\alpha_1},\tilde{\alpha_2},\cdots,\tilde{\alpha_m} ，则向量组 α1~,α2~,⋯ ,αn~\tilde{\alpha_1},\tilde{\alpha_2},\cdots,\tilde{\alpha_n} 和 向量组 α1,α2,⋯ ,αm\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m 有相同的秩。

矩阵
2-3-微分中值定理