8-内积空间

内积空间

实内积空间

设 V\mathit{V} 是实数域上的线性空间，若存在某种规则，使对 V\mathit{V} 中的任意一组有序向量 {α,β}\{\alpha,\beta\} ，都唯一地对应一个实数，记为 (α,β)(\alpha,\beta) ，且适合如下规则：

(1). (α,β)=(β,α)(\alpha,\beta) = (\beta,\alpha) ；

(2). (α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ)(\alpha+\beta,\gamma) = (\alpha,\gamma) + (\beta,\gamma) ;

(3). ∀c∈R,(cα,β)=c(α,β)\forall c \in \Bbb{R}, (c\alpha,\beta) = c(\alpha,\beta) ；

(4). (α,α)≥0(\alpha, \alpha) \geq 0 且等号成立，当且仅当 α=0\alpha = \bm{0} ，

则称在 V\mathit{V} 上定义了一个内积。实数 (α,β)(\alpha,\beta) 称为 α\alpha 与 β\beta 的内积。线性空间 V\mathit{V} 称为实内积空间。有限维实内积空间称为Euclid空间（欧式空间）。

设 Rn\Bbb{R}_n 是 nn 维实列向量空间， α=(x1,x2,⋯ ,xn)′,β=(y1,y2,⋯ ,yn)′\alpha = (x_1,x_2,\cdots,x_n)',\beta = (y_1,y_2,\cdots,y_n)' ，定义

(α,β)=x1y1+x2y2+⋯+xnyn,(\alpha, \beta) = x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n,

则定义了一个内积，称为 Rn\Bbb{R}_n 中的标准内积。

复内积空间

设 V\mathit{V} 是复数域上的线性空间，若存在某种规则，使对 V\mathit{V} 中的任意一组有序向量 {α,β}\{\alpha,\beta\} ，都唯一地对应一个复数，记为 (α,β)(\alpha,\beta) ，且适合如下规则：

(1). (α,β)=(β,α)‾(\alpha,\beta) = \overline{(\beta,\alpha)} ；

(2). (α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ)(\alpha+\beta,\gamma) = (\alpha,\gamma) + (\beta,\gamma) ;

(3). ∀c∈C,(cα,β)=c(α,β)\forall c \in \Bbb{C}, (c\alpha,\beta) = c(\alpha,\beta) ；

(4). (α,α)≥0(\alpha, \alpha) \geq 0 且等号成立，当且仅当 α=0\alpha = \bm{0} ，

则称在 V\mathit{V} 上定义了一个内积。复数 (α,β)(\alpha,\beta) 称为 α\alpha 与 β\beta 的内积。线性空间 V\mathit{V} 称为复内积空间。有限维复内积空间称为酉空间。

∀a∈R,a‾=a\forall a \in \Bbb{R},\overline{a} = a ，因此，实内积空间和复内积空间的定义是相容的，其中：

(α,cβ)=c‾(α,β).(\alpha, c\beta) = \overline{c}(\alpha,\beta).

设 Cn\Bbb{C}_n 是 nn 维复列向量空间， α=(x1,x2,⋯ ,xn)′,β=(y1,y2,⋯ ,yn)′\alpha = (x_1,x_2,\cdots,x_n)',\beta = (y_1,y_2,\cdots,y_n)' ，定义

(α,β)=x1y1‾+x2y2‾+⋯+xnyn‾,(\alpha, \beta) = x_1\overline{y_1} + x_2\overline{y_2} + \cdots + x_n\overline{y_n},

则在此定义下 Cn\Bbb{C}_n 成为一个酉空间，上述内积成为 C\Bbb{C} 的标准内积。

范数

范数

设 V\mathit{V} 是内积空间，α\alpha 是 V\mathit{V} 中的向量，定义 α\alpha 的长度（范数）为：

∥α∥=(α,α)12\|\alpha\| = (\alpha, \alpha)^{\frac{1}{2}}

即实数 (α,α)(\alpha, \alpha) 的算数根。（当 V\mathit{V} 是复内积空间时，(α,α)(\alpha, \alpha) 总是实数。）

设 V\mathit{V} 是内积空间， α,β∈V\alpha, \beta \in \mathit{V} ， cc 是任一常数，则：

(1). ∥cα∥=∣c∣∥α∥\|c\alpha\| = |c|\|\alpha\| ；

(2). ∣(α,β)∣≤∥α∥⋅∥β∥|(\alpha, \beta)| \leq \|\alpha\| \cdot \|\beta\| ；

(3). ∥α+β∥≤∥α∥+∥β∥\|\alpha + \beta\| \leq \|\alpha\| + \|\beta\| ；

向量夹角的余弦

设 V\mathit{V} 是实内积空间，定义非零向量 α,β\alpha,\beta 的夹角 θ\theta 之余弦为

cos⁡θ=(α,β)∥α∥⋅∥β∥.\cos\theta=\dfrac{(\alpha,\beta)}{\|\alpha\|\cdot\|\beta\|}.

当 V\mathit{V} 是复内积空间时，定义非零向量 α,β\alpha,\beta 的夹角 θ\theta 之余弦为

cos⁡θ=∥(α,β)∥∥α∥⋅∥β∥.\cos\theta=\dfrac{\|(\alpha,\beta)\|}{\|\alpha\|\cdot\|\beta\|}.

向量间的正交

设内积空间中的两个向量 α,β\alpha,\beta ，若有 (α,β)=0(\alpha,\beta)=0 ，则称 α\alpha 与 β\beta 垂直或正交 ，记为 α⊥β\alpha \perp \beta 。显然，零向量和任何向量都正交。

若向量 α,β\alpha,\beta 正交，则 (α,β)=(β,α)=0(\alpha,\beta) = (\beta,\alpha) = 0 且

∥α+β∥2=∥α∥2+∥β∥2.\|\alpha+\beta\|^2 = \|\alpha\|^2 + \|\beta\|^2 .

7-二次型
9-群论