半群和幺半群
设非空集合 $G$ ，在 $G$ 上定义一个二元代数运算 $(G, *)$ ，且该二元运算满足结合律，则称 $G$ 为 **半群** 。
若半群 $G$ 中有一个元素 $e$ ，满足：
则称 是一个单位元，称 是一个 幺半群 。
例如 是实数域上的加法幺半群，其中 是单位元。又如 是整数域上的乘法幺半群，其中 是单位元。
单位元的唯一性
若 $G$ 是一个幺半群，则单位元是唯一的。
广义结合律
令 $x_1,\cdots,x_n,$
∀a∈G,∃e∈G,a∗e=e∗a=a,
则称 e 是一个单位元，称 G 是一个 幺半群 。
例如 (R,+) 是实数域上的加法幺半群，其中 0 是单位元。又如 (Z,×) 是整数域上的乘法幺半群，其中 1 是单位元。
证明：设 G 是一个幺半群， e,e′ 都是其单位元， 由于 e 是单位元，有 e′∗e=e′,又 e′ 是单位元，有 e∗e′=e,于是有 e′=e.