最大数与最小数

设 $S$ 是一个数集，

如果 $\exists \xi \in S$ ，使得 $\forall x \in S$ ，有 $x \leqslant \xi$ ，
则称 $\xi$ 是数集 $S$ 的最大数，记为 $\xi = \max S$ ；

如果 $\exists \eta \in S$ ，使得 $\forall x \in S$，有 $x \geqslant \eta$ ，
则称 $\eta$ 是数集 $S$ 的最小数，记为 $\eta = \min S$ 。

界和确界

上界和下界

设 $S$ 是一个非空数集，

如果 $\exist M \in \Reals$ ，使得 $\forall x \in S$ ，有 $x \leqslant M$ ，
则称 $M$ 是 $S$ 的一个上界；

如果 $\exist m \in \Reals$ ，使得 $\forall x \in S$ ，有 $x \geqslant m$ ，
则称 $m$ 是 $S$ 的一个下界。

显然

$S \text{为有界集} \Longleftrightarrow \exist X \gt 0 \text{ ，使得} \forall x \in S \text{ ，有} \lvert x \rvert \leqslant X \text{。}$

上确界的定义

设数集 $S$ 有上界，记 $U$ 为 $S$ 的全体上界组成的集合，则显然 $U$ 不可能有最大数，
但一定有最小数 $\beta$ ，称为数集 $S$ 的上确界，即最小上界，记为

$\beta = \sup S \text{ 。}$

上确界的性质

• $\beta$ 是数集 $S$ 的上界：

  $\forall x \in S$ ，有 $x \leqslant \beta$ ；

• 任何小于 $\beta$ 的数不是数集 $S$ 的上界：

  $\forall \epsilon \gt 0$ ，$\exist x \in S$ ，使得 $x \gt \beta - \epsilon$

下确界的定义

设数集 $S$ 有下界，记 $L$ 为 $S$ 的全体下界组成的集合，则显然 $L$ 不可能有最小数，
但一定有最大数 $\alpha$ ，称为数集 $S$ 的下确界，即最大下界，记为

$\alpha = \inf S \text{ 。}$

下确界的性质

• $\alpha$ 是数集 $S$ 的下界：

  $\forall x \in S$ ，有 $x \geqslant \alpha$ ；

• 任何大于 $\alpha$ 的数不是数集 $S$ 的下界：

  $\forall \epsilon \gt 0$ ，$\exist x \in S$ ，使得 $x \lt \alpha + \epsilon$