无穷小的定义

若 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = 0$ ，则称当 $x \to x_0$ 时 $f(x)$ 是无穷小量。

无穷小的比阶

设 $u(x)$ 、$v(x)$ 当 $x \to x_0$ 时都是无穷小量。为了比较他们趋于 $0$ 的速度快慢，需要讨论 $\dfrac{u(x)}{v(x)}$ 的极限情况：

1. 若 $\lim\limits_{x \to x_0}\dfrac{u(x)}{v(x)} = 0$ ，则表示当 $x \to x_0$ 时，$u(x)$趋于 $0$ 的速度比 $v(x)$ 趋于$0$ 的速度快。

   称当 $x \to x_0$时，$u(x)$ 是关于 $v(x)$ 的高阶无穷小（或 $v(x)$ 是关于 $u(x)$ 的低阶无穷小），记为

   $u(x) = o\big(v(x) \big) \quad (x \to x_0)$

2. 若存在 $A > 0$ ，当 $x$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域中，成立

   $\lvert \dfrac{u(x)}{v(x)} \rvert \leqslant A \quad \text{，}$

   则称当 $x \to x_0$ 时，$\dfrac{u(x)}{v(x)}$ 是有界量，记为

   $u(x) = O\big(v(x)\big) \quad (x \to x_0) \quad \text{。}$

   若又存在 $a > 0$ ，当 $x$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域中，成立

   $a \leqslant \lvert \dfrac{u(x)}{v(x)} \rvert \leqslant A \quad \text{，}$

   则称当 $x \to x_0$ 时，$u(x)$ 与 $v(x)$ 是同阶无穷小量。显然，若 $\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{u(x)}{v(x)}= c \neq 0$ ，则 $u(x)$ 与 $v(x)$ 必是同阶无穷小量。

3. 若 $\lim\limits_{x \to x_0}\dfrac{u(x)}{v(x)} = 1$ ，称当 $x \to x_0$ 时，$u(x)$ 与 $v(x)$ 是等价无穷小量，记为

   $u(x) \thicksim v(x) \quad (x \to x_0)$

   上式也可以写成

   $u(x) = v(x) + o\big(v(x)\big) \quad (x \to x_0) \text{，}$

   表示当 $x \to x_0$ 时， $u(x)$ 与 $v(x)$ 两者相差一个高阶无穷小量

等价无穷小可替换

设 $u(x)$ ， $v(x)$ 和 $w(x)$ 在 $x_0$ 的某个去心领域 $U$ 上有定义，且 $\lim\limits_{x \to x_0}\dfrac{v(x)}{w(x)}=1$ （即 $v(x) \sim w(x)(x \to x_0)$ ），那么当
$\lim\limits_{x \to x_0}u(x)w(x) = A$ 时， $\lim\limits_{x \to x_0}u(x)v(x) = A$ 。

常见的等价无穷小

$\begin{aligned} \text{当 } x \to 0 \text{ 时：} \\\\ \sin x &\sim x \\\\ \tan x &\sim x \\\\ \arcsin x &\sim x \\\\ \arctan x &\sim x \\\\ \ln(1+x) &\sim x \\\\ e^x-1 &\sim x \\\\ a^x - 1 &\sim x\ln a \\\\ 1-\cos x &\sim \dfrac{1}{2}x^2 \\\\ (1+x)^\alpha-1 &\sim \alpha x \end{aligned}$