连续

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处是否具有“连续”的特性，就是指当 $x$ 在 $x_0$ 点附近作微小变化时， $f(x)$ 是否也在 $f(x_0)$ 附近作微小变化。借助于极限的概念，就是看当自变量 $x$ 趋于 $x_0 \quad (x \to x_0)$ 时，因变量 $y$ 是否趋于 $f(x_0) \quad (y \to f(x_0))$ 。

定义

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，并且成立

$\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(x_0) \quad \text{，}$

则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，而称 $x_0$ 是函数 $f(x)$ 的连续点。

用符号表示为：

$\text{函数} f(x) \text{在点} x_0 \text{处连续} \Longleftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x (\lvert x - x_0 \rvert < \delta ) : \lvert f(x) - f(x_0) \rvert < \epsilon \quad \text{。}$

• 其中，$\delta$ 即依赖于 $\epsilon$ ，也依赖于 $x_0$ 点，即：$\delta = \delta(x_0, \epsilon)$
• 连续反应的是函数 $f(x)$ 在一点 $x_0$ 邻域中的变化，因而只是局部性的概念。

单侧连续

若 $\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x) = f(x_0)$ ，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 左连续，符号表示：

$\text{函数} f(x) \text{在点} x_0 \text{处左连续} \Longleftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x ( -\delta < x - x_0 \le 0 ) : \lvert f(x) - f(x_0) \rvert < \epsilon \quad \text{。}$

若 $\lim\limits_{x \to x_0^+}f(x) = f(x_0)$ ，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 右连续，符号表示：

$\text{函数} f(x) \text{在点} x_0 \text{处右连续} \Longleftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x ( \delta > x - x_0 \ge 0 ) : \lvert f(x) - f(x_0) \rvert < \epsilon \quad \text{。}$

闭区间上连续

若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续，且在左端点 $a$ 右连续，在右端点 $b$ 左连续，则称函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续

开区间内连续

若函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内的每一点都连续，则称函数 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内连续。

一致连续

设函数 $f(x)$ 在区间 $X$ 上定义，若对于任意给定的 $\epsilon > 0$ ，存在 $\delta > 0$ ，只要 $x',x'' \in X$ 满足 $\lvert x' - x'' \rvert < \delta$ ，就成立 $\lvert f(x') - f(x'') \rvert \le \epsilon$ ，则称函数 $f(x)$ 在区间 $X$ 上一致连续。

若固定 $x'' = x_0$ 就得到 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的连续性。c

间断

按照连续性的定义，函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，必须满足：

1. 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处有定义，即 $f(x_0)$ 为有限值；
2. 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处有左极限，且 $f(x_0 -) = f(x_0)$ ；
3. 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处有右极限，且 $f(x_0 +) = f(x_0)$ ；

三者缺一不可。否则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处不连续，亦称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处间断；这时点 $x_0$ 时函数 $f(x)$ 的不连续点，亦称间断点。

通常将间断点分为三类：

第一类间断点

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的左、右极限都存在但不相等，即 $f(x_0 +) \neq f(x_0 -)$ 。
如下图所示，

函数图像中在间断点处会有一个跳跃，因此又称为跳跃间断点。左右极限之差 $\lvert f(x_0 +) - f(x_0 -) \rvert$ 称为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的跃度。

第二类间断点

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处至少有一个不存在。
如函数 $f(x) = e ^ \frac{1}{x}$ ：

$f(0 -) = \lim\limits_{x \to x_0^-} e ^ \frac{1}{x} = 0 \quad\text{，} f(0 +) =\lim\limits_{x \to x_0^+} e ^ \frac{1}{x} = + \infty$

第三类间断点

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的左、右极限都存在且相等，但不等于 $f(x_0)$ 或 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处无定义。
如函数 $f(x) = x \sin\dfrac{1}{x}$ ，

在点 $x = 0$ 处无定义，但 $\lim\limits_{x \to 0^-}x \sin\dfrac{1}{x} = \lim\limits_{x \to 0^+}x \sin\dfrac{1}{x} = 0$ 。因此，点 $x = 0$ 是该函数的第三类间断点。
通过补充间断点：

$f(x) = \begin{cases} x\sin\dfrac{1}{x} , \quad &x \neq 0 , \\\\ 0 , \quad & x = 0 \end{cases}$

则 $f(x)$ 是 $( - \infty, + \infty)$ 内的连续函数。

第三类间断点又称为可去间断点

讨论间断，只看两个点：

1. 函数无定义点（例）。
2. 分段函数的分段点（例）。

连续函数的性质

有界性定理

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则它在 $[a, b]$ 上有界。

最值定理

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则它在 $[a, b]$ 上必能取到最大值最小值，即存在 $\xi$ 和 $\eta \in [a, b]$ ，对于一切 $x \in [a, b]$ 成立

$f(\xi) \leqslant f(x) \leqslant f(\eta)$

零点存在定理

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 连续，且 $f(a) \centerdot f(b) < 0$ ，则一定存在 $\xi \in (a, b)$ ，使 $f(\xi) = 0$ 。

中间值定理

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则它一定能取到最大值 $M = max \{f(x) \lvert x \in [a, b]\}$ 和最小值 $m = min \{f(x) \lvert x \in [a, b]\}$ 之间的任何一个值。

推论

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 连续， $m$ 是最小值，$M$ 是最大值，则 $f(x)$ 的值域是闭区间

$R_f = [m, M] \quad\text{。}$

例题

通过无定义点讨论函数的间断

@todo 1.3.22

通过分段函数的分段点讨论函数的间断

@todo 1.3.20