当一个函数的自变量有微小的改变时，它的因变量一般来说也会有一个相应的改变。微分的原始思想在于寻找一种方法，当因变量的改变也是很小的时候，能够渐变而又比较精确地估计出这个改变量。

引例

（微分是线性近似）

设正方形的边长为 $x$ ，当其边长增加 $\Delta x$ 时，其面积 $S$ 增加了

$\Delta S = (x + \Delta x)^2 - x^2 = \textcolor{green}{2x \Delta x} + \textcolor{red}{(\Delta x)^2}$

其中：

• $\textcolor{green}{2x \Delta x}$ 即为 $S_{D1} + S_{D2}$ ，是增量的主要部分；
• $\textcolor{red}{(\Delta x)^2}$ 即为 $S_{D3}$ ，可得 $(\Delta x)^2 = o(\Delta x)$ ，是误差。

当 $\Delta x \to 0$ ，有 $\Delta S \approx 2x\Delta x$

定义

差分

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x$ 附近有定义，若 $f(x)$ 的自变量在 $x$ 处产生了某个增量 $\Delta x \neq 0$ 变为 $x + \Delta x$ ，其相应的函数值也产生了一个增量 $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ 。
其中， $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 分别被称为自变量和因变量的差分。

微分

对于函数 $y = f(x)$ 定义域中的一点 $x_0$ ，若存在一个只与 $x_0$ 有关，而与 $\Delta x$ 无关的数 $g(x_0)$ ，使得当 $\Delta x \to 0$
时恒成立关系式：

$\Delta y = g(x_0)\Delta x + o(\Delta x)$

则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的微分存在，或称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微。其中 $g(x_0)\Delta x$ 被称为 $\Delta y$ 的线性主部。

当 $f(x)$ 在 $x$ 处是可微的且 $\Delta x \to 0$ 时，将 $\Delta x$ 称为自变量的微分，记为 $dx$ ，将 $\Delta y$ 的线性主部 $g(x)dx$ 称为因变量的微分，记为 $dy$ 或 $df(x)$ 于是有：

$dy = g(x)dx$